受験算数と「数学」（循環節／不等式）

本日も引き続き、中学受験算数と中・高で学ぶ数学の関係を考察したいと思います。前回に引き続き、ラサール中学（2024年入試）の問題で考えます。

循環小数（循環節）

まず、（１）です。
これは、基本的に高校レベル（数ⅠＡ）と思われますが、中学受験では既に定番化している問題です。なので、同校を受験する受験生の皆さんは難なく解けた問題だと思います。

３÷７の計算は丁寧に行うことがポイントで、３ ÷ ７ ＝ 0.428571428…となります。
計算結果から”４２８５７１”が繰返し現れる循環小数であることが分かります。

表で表すと以下のとおりとなります。

表で明らかなように「４，２，８，５，７，１」は、それぞれ６で割った時のあまりに対応していることが分かります。

小数第100位を求めると、１００ ÷ ６＝１６ あまり４となり、あまり4に対応するのは５であることが分かります。よって、小数第100位の数は５となります。

逆に、「0.428571428…と続く循環小数を分数で表しなさい」となると、どのように考えれば良いしょうか。

これも（高校で習う）定番の解き方があります。

この循環小数を ▢ として、10倍、100倍、1000倍、…1000000倍します。

（ア）▢　　　　　　　　　　→　　　　　　0.4285714285…
▢  ✕　   １0　  　　　→　　　　　　4.285714285…
▢  ✕  １００　  　　　→　　　　　42.85714285…
▢  ✕ １０００　　　　→　　　　428.5714285…
・・・
（イ）▢ ×１００００００　  →　428571.42857142…

もとの循環小数（ア）と1000000倍した循環小数（イ）を比べると、小数点以下の部分（0.4285142…）が一致しています。

よって、（イ）－（ア）⇔　999999 ✕ ▢ ＝ 428571 となります。

両辺を142857で割ると、７ ✕  ▢ ＝３　から、▢ ＝ ３／７

桁数が多いのでやや分かりにくいかもしれませんので、「0.363636…を分数で表す」と簡略化した例で考えます。もとの循環小数を△として、「36」が循環するので △ を100倍します。

（ウ）△ ＝　0.363636…

（エ）△ × 100 ＝36.363636…　　　☞　小数点以下の数値が揃います

（エ）－（ウ）⇔ 99 × △ ＝36 　両辺を９で割って、11 × △ ＝４
$$\triangle=\frac{4}{11}$$

不等式

続いて（２）です。

$$\frac{1}{3} < \frac{▢}{19} < \frac{7}{8}$$となるような▢を求める問題と考えます。

まず、左側の不等式を考えます。
$$\frac{1}{3} < \frac{▢}{19}$$
分母を57に揃えると以下のようになります。
$$\frac{19}{57} < \frac{▢ ✕ 3}{57}$$

次に分子に注目すると、19 ＜ 3 × ▢　⇔　▢ ＞ 6.33…　　▢は整数なので、▢ ≧ 7　となります。

次に右側の不等式です。同様に分母をそろえます。
$$\frac{▢}{19} < \frac{7}{8}  ⇔　\frac{▢ ✕ 8}{19 × 8} < \frac{7 ×19}{8 × 19}　⇔ \frac{▢ ✕ 8}{152} < \frac{133}{152}$$

分子に注目すると、▢ × 8 ＜ 133　⇔ ▢ ＜ 16.6… 　　 ▢は整数なので、▢ ≦ 16となります。

2つの不等式を合わせると、　7 ≦ ▢ ≦ 16　となります。
不等式によって範囲が絞り込めたことになります。

よって、最大の分数は ▢ ＝ 16 のときで、
▢ ＝7，8，9，…，15，16　なので、分数の個数は（16 － 7）＋１＝10個 となります。

$$A=\frac{16}{19} \qquad 10個$$

不等式は、数研出版の「体系数学１（代数編）」の第4章で扱われますが、その後数学のカリキュラムが進むにつれて、不等式の適用範囲が広がっていきます。

高校数学になると、「不等式で評価」する問題が証明問題などにおいて頻繁に登場するので、考え方に慣れておく必要があると思われます。

おわりに

難関中学の入試問題は、必ずしも算数分野を極めた問題が出題されるわけではなく、❶中高で学ぶ数学の前振り（？）的な問題、❷中高で学ぶ数学で特別な前提知識を必要としない領域（整数・場合の数など）の問題が出題されるケースが多くなっていると思われます。

数学の勉強を開始した後、改めて（中学入試を）振り返ってみると、出題された先生方からのメッセージが伝わってくるような気がします。