高校数学レベルの算数入試（灘中 2021年整数）

記事の目次

はじめに
灘中　2021年入試より
＜解法１＞　15で割った余りの規則性の問題として解く
＜解法２＞　素因数分解を用いる方法
1. 「15で割ると１余る」の言い換え
＜解法３＞因数分解を利用する方法
終わりに

はじめに

このブログで何度か指摘しているとおり、難関校といわれる中学の入試算数は高校数学の領域まで入り込んでいます。

具体的には、数学Ａの「整数」・「場合の数」（確率を除く）・「図形」及び数学Ｂの「数列」あたりがその範囲として挙げられます。

とりわけ、「整数」は小学生で小数や分数の概念が登場する前に、一通り加減乗除計算ができるようになることからも、非常に身近です。

また、マスター・オブ・整数―大学への数学の以下の記述を読むと、「難関校がなぜ好んで整数問題を出題するか」という背景の一端が分かります。

数学には、特定の約束事を学習しないと、問題を全く解けない分野があります。たとえば、積分を習ったことのない人が、∫の記号のついた計算はできません。（中略）これに対して、整数の問題の大半は、かなり難しい問題でさえ、中学校卒業程度の知識があれば、十分取りくむことができます。整数問題の難しさは、「長大な約束事を理解しなければならない難しさ」ではなく、「自力で工夫し、考えぬかねばならない難しさ」なのです。
（栗田哲也福田邦彦著　「マスター・オブ・整数」　東京出版　『本書の利用法』より）

灘中　2021年入試より

今回とりあげるのは、以下の「灘中 2021年 1日目」の整数問題です。

Ａは２桁の整数で、Ａ×Ａを１５で割ると１余ります。このような整数Ａは全部で□個あります。（灘中　2021年　１日目　5⃣）

ご存じの方も多いと思いますが、灘中は2日間にわたって入試が行われ、１日目の算数は主として一行題が、２日目の算数では文章題が出題されます。

「首都圏難関校でも（灘中で出題された）何年か後に類題が出題される」などということが言われていたりしますが、進学塾だけでなく、多くの中高一貫校が灘中の入試問題には注目していると言えるでしょう。

なお、一行題と言っても、中学受験塾の模試の前半に出てくるような易し目の問題ではなく、今回取り上げる問題のように、相当難度が高い問題が目白押しです。

それでも、今年（2021年）の入試結果を見ると、１日目の算数の合格者平均は83点とかなりの高得点で、例年に比べると大分易しかった（但し、灘中比）ようです。

２日目は合格者平均点が60点台と難しくなりますが、（2日間の）算数で200点（満点）をとった受験生がいたのは驚異的と言わざるを得ません。

前置きはこのくらいにして、早速問題を見ていきます。

＜解法１＞　15で割った余りの規則性の問題として解く

問題を再掲します。

Ａは２桁の整数で、Ａ×Ａを１５で割ると１余ります。このような整数Ａは全部で□個あります。（灘中　2021年　１日目　5⃣）

「15で割り切れる数は何個？」という問題であれば非常に簡単なのですが、「余り」があるのが厄介です。

パッと思いつくこととして、Ａは２桁の整数なので、10～99まで90個の候補があります。
1つずつ90回試せば答えは出ますが、そんな時間はないので何かしらの「規則性」を見つける必要があります。

端的には、15で割った時の余りの規則性に気付けるかということになります。

整数の分類

一般に、整数は偶数と奇数に分けられますが、この分類は「（整数を）2で割った時の余り」に基づく分類といえます。また、「整数を3で割った時のあまり」によって３×□,３×□＋１，３×□＋２（□は整数）などと表して議論を進めていく方法も中学受験では時々見かけます。

数学（中学 or 高校？）では、以下のようなことを習います。

整数Ａを整数ｂで割った時の商をｍ、余りをｎとすると、Ａ＝ｂｍ＋ｎ（０≦ｎ＜ｂ）

言われてみれば当たり前の式で、「余り＜商」になることは小学生でもわかります。しかし、この関係を使うとすべての整数が表せるということまでは案外気づかないかもしれません。

すべての整数をこの関係を使って表せるからこそ、本問を解く場合、15で割った余りに注目して（代表値を前提に）、安心して議論を進めることができるという流れになると思います。

余りに注目するという考え方は、中学受験などでも出てくる「カレンダーの曜日を7で割った時の余りと対応させる問題」などでもお馴染みですが、意外に奥が深いテーマで、自在に使いこなすのは（一般に）高校生以上になると思います。

15で割った余りで分類　→　規則性発見

整数を15で割った時のあまりを基準に（整数が）分類できるということに気づけば、余り0から余り14までの15個について調べていくことで、規則性を見つけられるのではないかという推測が成り立ちます。

実際にはそこまでの深い考えはなく、「とりあえず小さい数から試してみよう」という程度でも構いません。

1×１＝１　→　　あまり１　〇
2×２＝４　→　　あまり４
3×３＝９　→　　あまり９
4×４＝１６　→　あまり１　〇
5×５＝２５　→　あまり10
6×６＝３６　→　あまり６
7×７＝４９　→　あまり４
8×８＝６４ →　あまり４
9×９＝８１　→　あまり６
10×10＝100　→　あまり10
11×11＝121　→　あまり１　〇
12×12＝144　→　あまり９
13×13＝169　→　あまり４
14×14＝196　→　あまり１　〇
15×15＝225　→　あまり０
==================
（16×16＝256　→　あまり１　〇）
…

やっていること自体は簡単ですが、地道な作業が必要になる点がポイントです。

さらに、15個周期（＝15で割った余りで分類）という意識があやふやだと、「あれ～、（いくつ飛びとかじゃないから）規則性が見つからないな～」、とか、「条件を満たすのは、１の位が１と4のときの2個だから…、2×9=18個だ」などといったことになりかねません。

特に、後者はいつの間にか１～10の10個周期になってしまっているわけですが、「15で割ったのだから15個周期」という点を明確に意識していないと、（慣れている）10のカタマリに引きずられてしまいます。

数学が得意な方はそういうことはないのでしょうが、私のような「文系人間」は、注意しないとこうしたトラップに容易に引っかかってしまう可能性があります。

なお、16×16は、以下の図からも分かる通り、15で割った時の余りという点では「16×16」と「1×1」は同じであることから、これ以上調べる必要がないことが分かります。

解答への道

算数を利用した解法だと、15個周期の中で余りが１となるパターンを４パターンに分けて
「1×1」パターン：16×16　31×31　46×46　61×61 　76×76　91×91　→　6個
「4×4」パターン：19×19　34×34　49×49　64×64 　79×79　94×94　→　6個
「11×11」パターン：11×11　26×26　41×41　56×56　71×71　86×86　→　6個
「14×14」パターン：14×14　29×29　43×43　58×58　73×73　88×88　→　6個
で、6×４＝24個となるでしょうか。

一方、高校数学を使うともう少し見通しが良くなります。
例えば今回の整数（Ａ）を15で割った時の商（ｍ）と余り（ｎ）を使って、Ａ＝15ｍ＋ｎなどと表します。なお、10 ≦ 15m＋n ≦99（0≦n≦14）

また、Ａ^２＝（15ｍ＋ｎ）^２＝15²ｍ^２＋２・15ｍｎ＋ｎ^２＝15（15ｍ^２＋２ｍｎ）＋ｎ^２＝１５×□＋ｎ^２と表せることから、Ａ^２を15で割った時の余りはｎ^２だけに注目すれば良いことが明確に分かります。

後は注意深く数えれば良いのですが、15ｍ＋ｎ≦99より、0≦ｍ≦6、ｎ＝0,1,２,…、14を代入して、ｎ^２を15で割った時の余りを書き出します（前掲の表参照）。

ｍ=１からｍ=5の時は、フルセットの組があるので、４×５＝20個
一方、ｍ＝０のときは（11×11と14×14の）2個、ｍ＝６の時は、（91×91と94×94の）2個で、合計24個と求めることができます。

＜解法２＞　素因数分解を用いる方法

１５＝３×５から、「素因数分解をすればよいのでは？」と思いつく小学生もいるでしょう。

とても良い視点です。

その先どう進めるかはなかなか思いつかないかもしれませんが、色々考えて試してみることが、問題に正解する以上に重要だと思います。

「15で割ると１余る」の言い換え

「15で割って1あまる」ということは、「3で割っても１あまり、5で割っても１あまる」と同じ意味です。小学生だと普通気づかないと思いますが、ここに気付くと先に進めます。

以下のような表を作って、3×５＝15個の周期で考えます。両方の欄に〇がついた◎の部分が、「3で割っても5で割っても1余る数」です。

◎のついた部分は、先の「15で割ると1余る数」と同じ結果になりますので、以後は同じように解けばよいわけです。

この表を見ると、前述の「15で割った時の余り１の規則性」より、（周期が短い分）規則性がより見えやすくなりますね。

＜解法３＞因数分解を利用する方法

以下は私が最初に思いついた方法です。

中学数学の「因数分解」の公式を使うので、小学生向きでの解法ではないかもしれませんが、そもそも、問題自体が既に高校数学レベルなので、この解法で解いた小学生もいたのではないかと思います。

Ａ×Ａを式で表してみる

Ａ×Ａ（この後はＡ^２と表記します）を15で割ると1あまるということは、Ａ^２÷15＝□…１と表せるということです。よって、Ａ²＝15×□＋１となります。ここまでは自然な考え方です。

ここで余りの「＋１」が邪魔なんですね、せっかくＡ²とか、15×□と積の形になっているのに、「＋１」が台無しにしています。

因数分解公式を使って式変形

そこで、邪魔な＋１を左辺に移動します。すると、Ａ²ー１＝15×□となります。
単に1を移動しただけですが、移動する前の式と比べて劇的に扱いやすくなります。

なぜなら「左辺＝Ａ^２ー１^２＝（Ａ＋１）（Ａー１）」と積の形で表せるからです。中学２～3年で習う因数分解の公式ですね。

よって、（Ａ＋１）（Ａー１）＝15×□となり、非常に扱いやすい式に変形できました。

後は、「場合分け」の世界

この後は場合分けです。式の形から、Ａ＋１またはＡー１のいずれかが15の倍数になります。
（両方の数の差は２しか離れていないので、両方が15の倍数になる可能性はありませんね。）

「Ａ＋１」が15の倍数の場合、Ａ＝14,29,44,59,74,89の６通り
「Ａ－１」が15の倍数の場合、Ａ＝16,31,46,61,76,91の６通り　　合計　12通り

15＝3×５を忘れずに

但し、答えはこの12通りだけではありません。右辺が15×□ ➡ ３×5×□とさらに素因数分解できるからです。

（Ａ＋１）×（Ａー１）＝３×5×□

３と５は「互いに素」なので、「Ａ＋１」が3の倍数ならば「Ａー１」が5の倍数（あるいはその逆）というパターンになるわけです。

なお、「Ａ＋１」または「Ａ－１」が、３と5の倍数（＝15の倍数）であるケースはすでに検討済みであり、「Ａ＋１」と「Ａー１」のいずれかが、３の倍数あるいは５の倍数でない場合、上記の式は成り立たないので、（以上の場合分けで）すべての場合を網羅できていることが分かります。

ちょっと工夫して

ということで、ここでまた「Ａ＋１」が３の倍数の場合…などと「場合分け」をしていっても良いのですが、少し面倒です。

左辺をよく見ると、（Ａ＋１）と（Ａー１）となっていることから、２数の差が２であることが分かります（当然、（Ａー１）＜（Ａ＋１）です）。

例えば、5の倍数が「Ａ＋１」のとき、3の倍数は5の倍数より２だけ小さい数（Ａー１）となり、5の倍数が「Ａー１」のとき、3の倍数は５の倍数より２だけ大きい数（Ａ＋１）になります。

ということは、5の倍数を基準に±２した数が3の倍数になっていれば良いわけです。
15の倍数は先に調べているので、15の倍数以外の２桁の5の倍数を調べます。
この数を列挙すると、10,20,25,35,40,50,55,65,70,80,85,95の12個となります。

これら12個の数（3の倍数でない5の倍数）について、±２した数が3の倍数になるかどうかを調べれば良いのですが、調べると、12個のぞれぞれにつき対応する３の倍数が１つずつあることが分かります（例えば、20を例にとると、「ー２」の18が3の倍数になります）。

よって、答えは、15×□パターンの12通りと、3×5×□パターンの12通りの合計24通りとなります。

少し補足

なお、下の図の☆と★のどちらか一方が、必ず３の倍数になることは明らかなのです。
というのも、5ｎは3の倍数でない5の倍数と定義したからです。

連続した3つの数があれば、その3つの中には必ず３の倍数が1つあります。
仮に☆が３の倍数でないとすると（連続する３つの整数は小さい順に）☆, 〇, 5n となりますが、この中で３の倍数は〇に決まります。しつこいようですが、5ｎを3の倍数でない5の倍数と定義しているので、５ｎは3の倍数になり得ないからです。

そして〇が3の倍数とすると、〇より3だけ大きい★が3の倍数になります。

逆に、☆が3の倍数であるとすると、☆より３だけ大きい●が3の倍数となります（この場合、★は3の倍数になりません。）

このように、3の倍数でない5の倍数を挟んで±２の数（☆と★）を考えた場合、どちらかが必ず３の倍数になる（両方とも３の倍数とか、両方とも3の倍数でないという場合はない）ことが分かります。

なので、10,20,25,…,95の個数（12個）がそのまま答え（の一部）になります。